Ensembles finis Exemples

$x^{\frac{1}{2}} + {(\sqrt{3 x})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} - 18 = 0$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{2 \cdot 4}} - 18 = 0$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Étape 2

Déterminez un facteur commun $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18$

Étape 3

Remplacez $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}$ par $u$ .

${(x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{\frac{1 + 1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x^{\frac{2}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{8}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{8} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x^{\frac{2}{2 (4)} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{2 \cdot 4} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{2}{4}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{\frac{2 (1)}{4}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{1 + 1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{2}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.6

Multipliez les exposants dans ${({(3 x)}^{\frac{2}{8}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Étape 4.1.7

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}) - 18 = 0$

Étape 4.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Étape 4.1.9

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{8}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.9.1

Déplacez $x^{\frac{1}{8}}$ .

$3^{\frac{1}{8}} (x^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{2}}) - 18 = 0$

Étape 4.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Étape 4.1.9.3

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}} - 18 = 0$

Étape 4.1.9.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.9.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4}} - 18 = 0$

Étape 4.1.9.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{4}{8}} - 18 = 0$

Étape 4.1.9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1 + 4}{8}} - 18 = 0$

Étape 4.1.9.6

Additionnez $1$ et $4$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}} - 18 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}} = 18$

Étape 4.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{8}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1

Simplifiez ${(3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Étape 4.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}}$ .

${(3^{\frac{1}{8}})}^{\frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{1}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Étape 4.4.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.4.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.3.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.4.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{1}{5}} x^{1} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.4

Simplifiez

$3^{\frac{1}{5}} x = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.4.1.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3^{\frac{1}{5}} x$ .

$x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$ par $3^{\frac{1}{5}}$ et simplifiez.

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Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$ par $3^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{x \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}} = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}} = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x^{\frac{1}{2}} + {(\sqrt{3 x})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$ vrai.

$Aucune solution$